索末菲展开
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索末菲展开是由阿诺德·索末菲发展的一种近似计算方法,专门用于计算在凝聚态物理和统计物理中出现的一类特定的积分。在物理中,这类积分表示的是采用费米-狄拉克分布计算的统计平均。
简介
索末菲展开是由阿诺德·索末菲发展的一种近似计算方法,专门用于计算在凝聚态物理和统计物理中出现的一类特定的积分。在物理中,这类积分表示的是采用费米-狄拉克分布计算的统计平均。
在热力学beta的值较大的情况下,我们可以把以下形式的积分关于 展开为:
上式即为索末菲展开的一般形式。其中 表示一个任意函数, 表示 在 处的导数; 指 的n阶最小量(参见大O符号),表示此展开中所有不大于 的项。只有当 在 时趋向于零,且时的增长速度不快于任意多项式,我们才能运用这个展开做近似计算。1
索末菲展开的推导
在此章节中,我们需要对我们研究的积分关于作二阶展开,其中是温度和玻尔兹曼常数的乘积。
我们先作变量代换:
将积分范围划分成两部分,,并对作变量代换
接下来,通过使用以下等式
可被化为下述形式:
再对第一项作变量代换将变换回原来的变量。结合,我们可以得到:
若足够小,足够平滑,第二项的分子可以被如下近似到第一阶导数:
代入前式可得:
已知第二项定积分的值为:
因此,
本词条内容贡献者为:
孙和军 - 副教授 - 南京理工大学
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